Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1073
Para cada número de cuatro cifras $\overline{abcd}$, demostrar que $S=\overline{abcd}-\overline{dcba}$ es múltiplo de $37$ si, y solo si, las dos cifras centrales del número $\overline{abcd}$ son iguales.
Nota. En este problema, $\overline{abcd}$ denota al entero de cuatro cifras en que $a$ son las unidades de millar, $b$ las centenas, $c$ las decenas y $a$ las unidades.
pistasolución 1info
Pista. Expresa el número $S$ en términos de los valores de $a,b,c,d$ y observa que podemos factorizar $999=3^2\cdot 37$.
Solución. Podemos escribir
\[\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d,\qquad \overline{dcba}=1000d+100c+10b+a,\]
luego es fácil calcular
\[S=999a+90b-90c-999d=999(a-d)+90(b-c)=3^2\cdot 37(a-d)+90(b-c).\]
Si $S$ es múltiplo de $37$, también lo será $90(b-c)=S-3^2\cdot 37(a-d)$; como $90$ es primo relativo con $37$, también lo será $b-c$. Ahora bien, $b-c$ es un entero entre $-9$ y $9$ y el único múltiplo de $37$ en este rango es $0$, luego debe ser $b-c=0$. Recíprocamente, si $b=c$, entonces $S=3^2\cdot 37(a-d)$ es claramente múltiplo de $37$.
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