Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2748 problemas y 1042 soluciones.
Problema 1074
Demuestra que para todo $n\geq 2$ podemos encontrar $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$, todos ellos distintos de $1$, de manera que
\[x_1x_2\cdots x_n=\frac{1}{1-x_1}\cdot\frac{1}{1-x_2}\cdots\frac{1}{1-x_n}.\]
pistasolución 1info
Pista. Fíjate en que la parábola $f(x)=x-x^2$ toma todos los valores del intervalo $(-\infty,\frac{1}{4}]$.
Solución. Podemos expresar la condición como
\[(x_1-x_1^2)(x_2-x_2^2)\cdots(x_n-x_n^2)=1.\]
Podemos completar cuadrados para expresar cada uno de los factores como $x-x^2=\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2$. Esta expresión toma todos los valores entre $(-\infty,\frac{1}{4}]$, luego basta tomar $x_1$ tal que $x_1-x_1^2=-4^{n-2}$, $x_2$ tal que $x_2-x_2^2=-1$ y $x_k=\frac{1}{2}$ para $3\leq k\leq n$ (que verifica $x_k-x_k^2=\frac{1}{4}$).
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