Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si $P(x)$ es constante, entonces dicha constante debe ser cero pues en caso contrario el miembro de la izquierda es constante y el de la derecha no. Supongamos entoncds que $P(x)$ no es constante y llamemos $n\geq 1$ a su grado. El miembro de la izquierda tiene grado $nk$ y el de la derecha $n+k$, luego debe ser $nk=n+k$, que se puede reescribir como $(n-1)(k-1)=1$. Esto nos dice que debe ser $n=k=2$ ya que se trata de enteros positivos. Pongamos entonces que $P(x)=ax^2+bx+c$, luego \begin{align*} 0=P(x^2)-P(2x)-x^2P(x)&=(ax^4+bx^2+c)-(4ax^2+2bx+c)-x^2(ax^2+bx+c)\\ &=-x(bx^2+(4a+c-b)x+2b). \end{align*} Para que se dé esta igualdad de polinomios, tiene que ser $b=0$ y $4a+c=0$, lo que nos da todos los polinomios de la forma $P(x)=a(x^2-4)$.

Hemos probado así que tenemos la solución $P(x)=0$, válida para todo $k\geq 1$, y la solución $P(x)=a(x^2-4)$ para cualquier $a\in\mathbb{R}$, válida solo para $k=2$.