Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Un conjunto $T$ no es orensano cuando dados $a,c\in T$ cualesquiera, se cumple que $b\in T$ para todo $b$ entre $a$ y $c$. Entonces, $T$ consistirá exactamente en todos los elementos entre su máximo y su mínimo. Observamos también que si $T$ tiene un único elemento o ninguno, entonces automáticamente no es orensano. Por lo tanto, el número de conjuntos no orensanos es $1+2019+\binom{2019}{2}=2039191$ (hemos sumado $1$ por el conjunto vacío, $2019$ por los subconjuntos de uno solo elemento y $\binom{2019}{2}$ por cada pareja de elementos distintos de $\{1,2,\ldots,2019\}$, que representan el máximo y el mínimo pues estos determinan el conjunto no orensano).

El número total de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,2019\}$ es $2^{2019}$, luego el número de subconjuntos orensanos será \[2^{2019}-2039191.\]