Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1089
Consideramos $2020$ números reales $a_1,a_2,\ldots,a_{2020}$ tales que la suma de $1009$ de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los $2020$ números también es positiva.
pistasolución 1info
Pista. Suma muchas sumas de $1009$ números cuyo resultado sea un múltiplo de la suma de los $2020$ números.
Solución. Para cada $k$, consideramos $S_k=a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{k+1008}$, donde los subíndices los consideramos cíclicamente módulo $2020$ (es decir, $a_{2020+i}=a_{i}$ para todo $i$). Dado que entre todas las sumas $S_1,S_2,\ldots, S_{2020}$ aparece $1009$ veces cada término $a_i$, tenemos que la suma $S$ de los 2020 elementos verifica
\[1009S=S_1+S_2+\ldots+S_{2020}\gt 0\]
y de aquí se deduce que $S\gt 0$.
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