Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

• los cuatro signos pasan de positivos a negativos, con lo que la suma cambia en $-8$;
• pasan de un negativo y tres positivos a un positivo y tres negativos, con lo que la suma cambia en $-4$;
• pasan de dos positivos y dos negativos a dos positivos y dos negativos, con lo que la suma no cambia;
• pasan de un positivo y tres negativos a un negativo y tres positivos, con lo que la suma cambia en $+4$;
• pasan de todos negativos a todos positivos y la suma cambia en $+8$.

Partiendo de todos los signos positivos (con suma igual a $14$) y cambiando vértices de signo, podemos llegar a cualquier configuración pero los casos anteriores nos dicen que la suma será la original modificada en un múltiplo de $4$, es decir, será 14, 10, 6, 2, $-2$, $-6$, $-10$ ó $-14$.

El valor $-14$ no puede ser puesto que implicaría que todos los números son negativos y no pueden ser simultáneamente negativos los cuatro vértices de una cara y la propia cara. Tampoco puede darse el caso $-10$ ya que habría dos números negativos y $12$ positivos. Los demás casos (14, 10, 6, 2, $-2$, $-6$) sí que pueden ocurrir y dejamos al lector que ponga ejemplos de cada uno de ellos.