Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Hay que probar dos implicaciones. La más sencilla consiste en suponer que $a=b=c$, en cuyo caso para cualquier $x\in\mathbb{R}$ se cumple que \[p(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=3(x-a)^2\geq 0.\] Recíprocamente, supongamos que $p(x)\geq 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Podemos simplificar el polinomio operando todos los paréntesis y luego completar cuadrados para obtener que \begin{align*} p(x)&=x^2-ax-bx+ab+x^2-bx-cx+bc+x^2-cx-ax+ca\\ &=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)\\ &=3\left(x^2-\tfrac{1}{3}(a+b+c)\right)^2-\tfrac{1}{3}(a+b+c)^2+(ab+bc+ca). \end{align*} Por tanto, este polinomio toma su mínimo valor en $x=\frac{1}{3}(a+b+c)$ y esto nos dice que $p(\frac{1}{3}(a+b+c))\geq 0$. De esta manera \begin{align*} 0\leq 3\, p(\tfrac{1}{3}(a+b+c))&=-(a+b+c)^2+3(ab+bc+ca)\\ &=-(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ca)\\ &=-(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ac)\\ &=-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2. \end{align*} La única forma de que se cumpla esta desigualdad es que $a-b=b-c=c-a=0$, es decir, que $a=b=c$, como queríamos demostrar.