Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sea $i(k)$ la longitud en vertical que recorre el láser numerado con $k$ que parte del lado izquierdo del tablero y sea $d(k)$ la longitud correspondiente para el lado derecho. Dos láseres pueden cruzarse, pero no pueden compartir un segmento de camino (en tal caso, se vería claramente que un láser termina donde otro empieza, no en el borde superior o inferior). Por lo tanto, en cada una de las $n^2$ casillas pasan a lo sumo dos láseres cruzándose (si no hay espejo) o rebotando por sendos lados (si lo hay). Esto nos dice que, al contar la longitud total vertical recorrida, se tiene la desigualdad \[\sum_{k=1}^n(d(k)+i(k))\leq n^2.\] Ahora observamos que un láser con el número $k$ necesita recorrer verticalmente un longitud $k-\frac{1}{2}$ para salir por el borde superior y una longitud $n-k+\frac{1}{2}$ para salir por el borde inferior. Si denotamos por $S$ e $I$ la suma de los números de los láseres que salen por la parte superior e inferior, respectivamente, como salen exactamente $n$ por la parte superior y $n$ por la parte inferior, podemos hacer el conteo anterior de otra forma para estimar inferiormente \[n^2\geq \sum_{k=1}^n(d(k)+i(k))\geq (S-\tfrac{n}{2})+(n^2-I+\tfrac{n}{2})=S-I+n^2.\] Deducimos de aquí que $S-I\geq 0$, que es lo que nos pide el enunciado.