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Problema 1094
Ana y Bernardo juegan al siguiente juego. Se empieza con una bolsa que
contiene $n\geq 1$ piedras. En turnos sucesivos y empezando por Ana, cada
jugador puede hacer los siguientes movimientos: si el número de piedras en
la bolsa es par, el jugador puede coger una sola piedra o la mitad de las
piedras. Si el número de piedras en la bolsa es impar, tiene que coger una
sola piedra. El juego lo gana quien coge la última piedra. Determinar para
qué valores de $n$ Ana tiene una estrategia ganadora.
pistasolución 1info
Pista. Fíjate que en el caso de $n$ impar necesariamente Ana tiene que quitar una piedra, luego equivale al caso par pero empezando por Bernardo. Analiza unos cuantos casos $n=1,2,3,4,5,6,\ldots$ para encontrar la estrategia.
Solución. Analizamos algunos casos básicos:
- Si $n=1$, Ana gana: debe retirar la única piedra.
- Si $n=2$, Bernardo gana: Ana está forzada a retirar una piedra y la otra la retira Bernardo.
- Si $n=3$, Ana gana: debe retirar una piedra, Bernardo otra y ella la última.
- Si $n=4$, Ana gana: retira dos piedras, Bernardo otra y ella la última.
Vemos un patrón que puede conducir a la solución. Si $n$ es impar, Ana tiene que quitar una piedra necesariamente y reducir el juego al caso par empezando por Bernardo. En el caso de $n$ par, el que empieza quita una piedra y fuerza al otro a quitar solo una; repite el proceso hasta llegar a $n=4$, caso en el que pasa a quitar dos piedras y gana.
Por lo tanto, Ana tiene estrategia ganadora si $n=1$, $n=3$ o $n\geq 4$ par. Bernardo tiene estrategia ganadora si $n=2$ o $n\geq 5$ impar.
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