Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos que el polígono tiene $n$ lados y escribamos sus ángulos internos como $a,a+d,\ldots,a+(n-1)d$, siendo $d$ la diferencia de la progresión aritmética. Como la suma de los ángulos internos de un $n$-gono es $180(n-2)$ (ya que se puede triangularse en $n-2$ triángulos), deducimos que \[180(n-2)=a+(a+d)+\ldots+(a+(n-1)d)=na+\frac{n(n-1)}{2}d.\] Por tanto, tenemos que resolver la ecuación diofántica \[360(n-2)=2na+n(n-1)d\ \Leftrightarrow\ 2a+(n-1)d=360-\frac{720}{n}.\] Esto acota los valores de $n$ a los divisores de $720$ (mayores o iguales que $3$). Además, para que el polígono sea convexo, sus ángulos tienen que ser menores que $180$, lo que nos dice que el mayor ha de serlo, es decir, $a\lt 180-(n-1)d$. Sustituyendo en la ecuación diofántica, la convexidad se traduce en que $720=(360-2a-(n-1)d)n\gt n(n-1)d\geq n(n-1)$, donde hemos usado que $d\geq 1$ porque nos dicen que no todos los ángulos son iguales. Esto último se traduce en que $3\leq n\leq 27$ y $d\lt\frac{720}{n(n-1)}$.

La idea ahora es que, para cada divisor $3\leq n\leq 27$ de $720$, estudiaremos si existe un par de enteros positivos $(a,d)$ verificando simultáneamente $2a+(n-1)d=360-\frac{720}{n}$ y $d\lt\frac{720}{n(n-1)}$. Lo haremos caso por caso ya que no son muchos

• Si $n=3$, tenemos $2a+2d=120$ y $d\lt 120$. Una solución es $a=d=30$.
• Si $n=4$, tenemos $2a+3d=180$ y $d\lt 60$. Una solución es $a=75$, $d=10$.
• Si $n=5$, tenemos $2a+4d=216$ y $d\lt 36$. Una solución es $a=100$, $d=4$.
• Si $n=6$, tenemos $2a+5d=240$ y $d\lt 24$. Una solución es $a=100$, $d=8$.
• Si $n=8$, tenemos $2a+7d=270$ y $d\lt 13$. Una solución es $a=100$, $d=10$.
• Si $n=9$, tenemos $2a+8d=280$ y $d\lt 10$. Una solución es $a=120$, $d=5$.
• Si $n=10$, tenemos $2a+9d=288$ y $d\lt 8$. Una solución es $a=135$, $d=2$.
• Si $n=12$, tenemos $2a+11d=300$ y $d\lt 6$. Una solución es $a=139$, $d=2$.
• Si $n=15$, tenemos $2a+14d=312$ y $d\lt 4$. Una solución es $a=149$, $d=1$.
• Si $n=16$, tenemos $2a+15d=315$ y $d\lt 3$. Una solución es $a=150$, $d=1$.
• Si $n=18$, tenemos $2a+17d=320$ y $d\lt 3$. Una solución es $a=143$, $d=2$.
• Si $n=20$, tenemos $2a+19d=324$ y $d\lt 2$. En este caso sólo nos queda $d=1$ y no hay solución puesto que el miembro de la derecha sería par y el de la izquierda impar.
• Si $n=24$, tenemos $2a+23d=330$ y $d\lt 2$. Tampoco hay solución por el mismo motivo que en el caso anterior.

Deducimos así que los posibles valores de $n$ son $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $10$, $12$, $15$ y $18$.