Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $A_1,A_2,A_3$ las áreas de los triángulos $AOP,BOM,NOC$, respectivamente, y sean $B_1,B_2,B_3$ las áreas de los otros tres triángulos $POB,AON,COM$. Si $S$ es el área total del triángulo $ABC$, tenemos que \[A_1+A_2+A_3+B_1+B_2+B_3=S.\] Ahora bien, como las cevianas $AM,BN,CP$ se cortan en $O$, el teorema de Ceva nos dice que \[\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{NA}=1.\] Si multiplicamos el numerador y denominador de la primer fracción por la mitad de la altura común de los triángulos $AOP$ y $BOP$ (la distancia $d_c$ de $O$ a $AB$) y hacemos lo mismo con las otras fracciones (con las distancias $d_a$ de $O$ a $BC$ y la distancia $d_b$ de $O$ a $AC$), podemos transformar la igualdad anterior en una expresión con áreas: \[\frac{A_1}{B_1}\cdot\frac{A_2}{B_2}\cdot\frac{A_3}{B_3}=\frac{\frac12\cdot AP\cdot d_c}{\frac12\cdot PB\cdot d_c}\cdot\frac{\frac12\cdot BM\cdot d_a}{\frac12\cdot MC\cdot d_a}\cdot\frac{\frac12\cdot CN\cdot d_b}{\frac12\cdot NA\cdot d_b}=1.\] Tenemos, por tanto, que $A_1A_2A_3=B_1B_2B_3$. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos dice que \[(A_1A_2A_3)^2=A_1A_2A_3B_1B_2B_3\leq\left(\frac{A_1+A_2+A_3+B_1+B_2+B_3}{6}\right)^6=\frac{S^6}{6^6}.\] Concluimos que $A_1A_2A_3=B_1B_2B_3\leq(\frac{S}{6})^3$, luego al menos uno de los números $A_1,A_2,A_3$ y al menos uno de los números $B_1,B_2,B_3$ han de ser menores o iguales que $\frac{S}{6}$, como queríamos demostrar.