Problemas de Matemáticas

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Problema 1105

Sea $S$ un subconjunto finito de los números enteros. Definimos $d_2(S)$ y $d_3(S)$ de la siguiente manera:

$d_2(S)$ es el número de elementos $a\in S$ para los que existen $x,y\in\mathbb{Z}$ tales que $x^2-y^2=a$.
$d_3(S)$ es el número de elementos $a\in S$ para los que existen $x,y\in\mathbb{Z}$ tales que $x^3-y^3=a$.

Sea $m$ un número entero y sea $S=\{m,m+1,\ldots, m+2019\}$. Probar que \[d_2(S)\gt \frac{13}{7}d_3(S).\]
Sea $n$ un número entero positivo y sea $S_n=\{1,2,\ldots,n\}$. Probar que existe un número $N$ de manera que, si $n\gt N$, entonces \[d_2(S_n)\gt 4 d_3(S_n).\]

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