Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La desigualdad entre las medias geométrica y cuadrática nos dice que \[\sqrt[4]{|abcd|}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}=\sqrt{3},\] de donde $abcd\leq |abcd|\leq 9$ (observemos que hay que poner valor absoluto porque esta desigualdad sólo es cierta para números no negativos). Ahora bien, para que se dé la igualdad, tiene que ser $|a|=|b|=|c|=|d|=\sqrt{3}$ y la condición $a+b+c+d=0$ nos dice que exactamente dos de los números tienen que ser positivos y dos negativos. Por ejemplo, podemos poner $a=b=\sqrt{3}$ y $c=d=-\sqrt{3}$, lo que confirma que el valor máximo de $abcd$ es efectivamente $9$ y sabemos exactamente cuándo se da la igualdad.

En cuanto al mínimo,