Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El número total de estados es fácil de calcular ya que corresponde a elegir un subconjunto del conjunto de $2n$ bombillas, lo que nos da $\text{ET}=2^{2n}$ (en otras palabras, tenemos que elegir entre dos opciones, encendido o apagado, de forma independiente para cada una de las $2n$ bombillas). Ahora bien, si fijamos un número $0\leq k\leq n$, hay $\binom{n}{k}$ formas de encender exactamente $k$ bombillas en la fila A. Para cada una de ellas, tenemos $\binom{n}{k}$ formas de encender el mismo número de bombillas en la fila B, lo que nos dice que el número total de estados buenos es \[\text{EB}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}.\] De esta forma, podemos concluir que \begin{align*} \frac{\text{EB}}{\text{ET}}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!\cdot 2^{2n}}&=\frac{(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1\cdot 2^n n!}{n!\cdot n!\cdot 2^n\cdot 2^n}\\ &=\frac{(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{n!\cdot 2^n}, \end{align*} donde hemos separado los factores pares e impares de $(2n)!$.

Nota. Hemos usado la famosa igualdad \[\binom{2n}{n}=\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\ldots+\binom{n}{n}^2.\] Esta se obtiene, por ejemplo, de comparar los coeficientes de orden $n$ los desarrollos por el binomio de Newton de $(1+x)^{2n}$ y $(1+x)^n(1+x)^n$.