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Problema 111
OIM, 2000-P1
En un polígono regular de $n\geq 3$ lados se les asigna un número entre $1$ y $n$ a cada vértices, a cada lado y a cada diagonal. Demostrar que si $n$ es impar, entonces esto puede conseguirse cumpliendo además que
- el número asociado a cada lado o diagonal es distinto al asociado a los vértices que une,
- para cada vértice, no hay dos segmentos (lados o diagonales) que comparten dicho vértice y tengan el mismo número.
pistasolución 1info
Pista. Piensa en los casos más sencillos ($n=3,5,7,\ldots$) y pronto encontrarás una regla general.
Solución. Basta numerar de la siguiente manera: a cada vértice le asignamos un número distinto entre $1$ y $n$, a cada lado el número del vértice opuesto y a cada diagonal el número que tiene el lado que es paralelo a ella. Que hay un vértice opuesto a un lado y que hay un único lado paralelo a cada diagonal está garantizado por haber un número impar de lados. Es fácil ver que esta numeración cumple las propiedades (a) y (b).
Nota. Observemos que, además se cumple que cualquier par de segmentos (lados o diagonales) que se cortan tienen número distinto.
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