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Problema 1112
OME Local, 2022-P1
Un número $n$ de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos números de siete cifras $s$ y $t$ tales que todas las cifras de $s$ son impares y todas las cifras de $t$ son pares. Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos: \[6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393.\]
pistasolución 1info
Pista. Si una cifra del número es par es porque hay una llevada en la suma de las cifras de orden inferior. Analiza cada número desde las unidades a las unidades de millón y te darás cuenta de que algunos son imposibles de expresar como $t+s$.
Solución. Hay que tener en cuenta que si una de las cifras del número es par es porque hay una llevada de la suma de las cifras de orden inmediatamente inferior. Vamos a analizar cada caso por separado:
  • 6204773 es bonito (por ejemplo, tomando $s=3557931$ y $t=2646842$).
  • 6372538 no es bonito puesto que la cifra de las unidades es par y no puede obtenerse como suma de un dígito par y otro impar (no hay llevadas).
  • 7343053 no es bonito ya que después del cero de las centenas hay necesariamente una llevada, luego la siguiente cifra no puede ser impar y en este caso es un tres.
  • 8993267 no es bonito ya que el 8 en las unidades de millón implica una llevada y por tanto las cifras de $t$ y $s$ en las centenas de millar deben sumar 19, lo que implica que ambas son 9 (más otra llevada de las decenas de millar). Esto impide que las cifras de $s$ sean todas pares.
  • 9652393 es bonito (tomando $t=5371751$ y $s=4280642$).
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