Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ y $(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ obtenemos que cualesquiera que sean los valores de los seis números dados, se tiene que \[(a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_5a_6)^2\leq (a_1^2+\ldots+a_5^2)(a_2^2+\ldots+a_6^2).\] Ahora bien, el enunciado nos dice que se da la igualdad, luego los dos vectores tienen que ser proporcionales. Como son números no nulos, deberá existir una constante $\lambda\neq 0$ tal que \[(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)=\lambda(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5).\] En otras palabras, $a_2=\lambda a_1$, $a_3=\lambda a_2$, $a_4=\lambda a_3$, $a_5=\lambda a_4$ y $a_6=\lambda a_5$. Tenemos así que los números están en progresión geométrica de razón $\lambda$.