Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observamos en primer lugar que el reparto es posible ya que la ecuación $a+(a+1)+(a+2)+\ldots+(a+11)=2022$ tiene solución entera $a=163$, de forma que los piratas obtienen desde $163$ monedas el menor hasta $163+11=174$ el mayor. Trabajando módulo $12$, a cada uno le toca un número de monedas con un resto distinto, pero la idea fundamental es que tras hacer un traspaso de monedas, cada uno se queda con $1$ moneda más (módulo $12$, cosa que no le hará gracia al que pierde $11\equiv -1$ monedas). Por tanto, a lo largo de todo el proceso, hemos encontrado el invariante de que todos los restos serán distintos. Esto nos dice que la configuración en que un pirata acumula el mayor número de monedas es que los otros tengan $0,1,2,3,\ldots,10$ monedas y él tenga las $1965$ restantes.

Todavía nos queda por ver que esto es posible, es decir, hemos buscado el que teóricamente es el mejor escenario posible, pero podría ocurrir que no se pudiera llegar a él. La idea para conseguirlo es que los once piratas menores repartan monedas mientras puedan y el mayor no reparta nada. En este proceso, por cada reparto de los menores, el mayor va acumulando una moneda más, luego los menores se van quedando (en conjunto) con una moneda menos en cada paso. De esta manera, el proceso debe terminar en el momento en que los once menores tienen todos ellos menos de $11$ monedas. Por el argumento de los restos módulo $12$, estos piratas deben tener necesariamente $0,1,2,\ldots,10$ monedas (en algún orden) y el mayor tendrá las $1965$ restantes.

Nota. El problema no tiene nada que ver con $12$ o $2022$ salvo que $2022$ es la suma de $12$ enteros consecutivos. Convéncete de que el mismo problema se resuelve de forma análoga para $m$ piratas y $a+\frac{m(m-1)}{2}$ monedas (para cualesquiera enteros $m\geq 2$ y $a\geq 0$).