Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Todas las personas no pueden ser mentirosas, ya que entonces la que está más a la derecha estaría diciendo la verdad. Tampoco pueden decir todas la verdad ya que entonces la que está más a la izquierda sería mentirosa. En particular, tenemos que la que está más a la derecha debe decir la verdad y la que está más a la izquierda es mentirosa. Si ahora a estas dos las quitamos de la fila, quedarán otras 2020 personas. Al haber quitado una mentirosa a la izquierda de todas y una sincera a la derecha, la afirmación de que hay más mentirosos a mi izquierda que personas que digan la verdad a mi derecha sigue teniendo la misma validez si solo miramos a estas 2020 personas. El mismo razonamiento nos permite reducir el problema de 2020 a 2018, de 2018 a 2016 y así sucesivamente, luego las 1011 personas más a la izquierda mienten y las 1011 más a la derecha son sinceras.

Nota. Aunque la solución es bastante clara, lo que se esconde al decir así sucesivamente es un proceso de inducción. Vamos a formalizar la solución demostrando por inducción que para un grupo de $2n$ personas que hacen tales afirmaciones, $n\geq 1$, necesariamente las $n$ personas más a la izquierda son mentirosas y las $n$ más a la derecha son sinceras. Para el caso base $n=2$, es obvio que la de la izquierda miente y la de la derecha dice la verdad. Ahora, supuesto que para un grupo de $2n$ personas se cumple este enunciado, para $2(n+1)=2n+2$ personas podemos usar el argumento dado para deducir que la de más a la izquierda miente y la de más a la derecha dice la verdad. Al eliminarlas, tenemos un grupo de $2n$ personas que también cumple el enunciado, luego las $n$ más a la izquierda son mentirosas y las $n$ más a la derecha son sinceras. De esta forma, de las $2n+2$ personas, las $n+1$ más a la izquierda son mentirosas y los $n+1$ más a la derecha son sinceras.