Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Llamamos $x=2^a$ e $y=2^b$ por comodidad. Podemos eliminar $c$ en la segunda ecuación usando la primera para escribir \[7=2^a+2^b+2^{3-a-b}=2^a+2^b+\frac{8}{2^a2^b}=x+y+\frac{8}{xy}.\] Por otro lado, la tercera ecuación nos dice que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$, que también puede escribirse como $x+y=\frac{3}{4}xy$. Por tanto, tenemos que \[7=x+y+\frac{8}{xy}=\frac{3}{4}xy+\frac{8}{xy}\ \Leftrightarrow\ 3(xy)^2-28xy+32=0.\] Esto puede verse como una ecuación de segundo grado con incógnita el producto $xy$, que nos da las soluciones $xy=\frac{4}{3}$ y $xy=8$. Distingamos los dos casos:

• Si $xy=\frac{4}{3}$, entonces $x+y=\frac{3}{4}xy=1$. Conociendo la suma $1$ y el producto $\frac{3}{4}$, ls números $x$ e $y$ deben las soluciones de la ecuación $t^2-t+\frac{3}{4}=0$, pero esta ecuación no tiene soluciones reales.
• Si $xy=8$, entonces $x+y=\frac{3}{4}xy=6$, en cuyo caso $x$ e $y$ son soluciones de la ecuación $t^2-6t+8=0$, que son $t=2$ y $t=4$, lo que nos da $a=1$ y $b=2$ (salvo reordenación) y la condición $a+b+c=3$ nos da $c=0$.

Deducimos así que las soluciones al sistema son $(1,2,0)$ y $(2,1,0)$.