Encontrar todos los polinomios $p(x)$ con coeficientes reales tales que
\[p(x)+p(y)+p(z)+p(x+y+z)=p(x+y)+p(y+z)+p(z+x)\]
para cualesquiera números reales $x,y,z$.
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Pista. Haz $x=y=z$ y analiza los términos de mayor grado.
Solución. Sustituyendo $x=y=z=0$ en la ecuación del enunciado, tenemos que $4p(0)=3p(0)$, de donde $p(0)=0$. Por otro lado, si hacemos $x=y=z$ en el enunciado, obtenemos la ecuación $3p(x)+p(3x)=3p(2x)$. Al desarrollar esta igualdad nos queda una igualdad de polinomios. Los términos de mayor grado nos dan la ecuación $3a_nx^n+a_n3^nx^n=3a_n 2^n x^n$, siendo $p(t)=a_nt^n+\ldots +a_1t+a_0$ con $a_n\neq 0$. Esta condición nos dice que $1+3^{n-1}=2^n$ y esta igualdad es cierta para $n=1$ y $n=2$, pero no para $n\geq 3$ (¿por qué?). Por tanto, el grado de $p$ es $n\leq 2$.
Deducimos así que $p(t)=at^2+bt$ para ciertos $a,b\in\mathbb{R}$. Se puede comprobar fácilmente que todos estos polinomios (para todo $a,b\in\mathbb{R}$) cumplen la ecuación dada.
Solución. Si desarrollamos la ecuación del enunciado nos queda un polinomio en las tres variables $x,y,z$. Como la igualdad debe ser válida para todo $x,y,z$, se deduce que los coeficientes de monomios de grados iguales en ambos miembros ha de ser el mismo. Si $n\geq 3$, el miembro de la izquierda tiene monomios de la forma $x^ay^bz^c$, con $a,b,c\geq 1$, y por el contrario el miembro de la derecha no los tiene. Esto nos dice que $p$ tiene grado $n\leq 2$. Sustituyendo $x=y=z=0$ en la ecuación del enunciado, tenemos además que $4p(0)=3p(0)$, de donde $p(0)=0$.
Deducimos así que $p(t)=at^2+bt$ para ciertos $a,b\in\mathbb{R}$. Como estos polinomios claramente cumplen la ecuación (ya que $t^2$ y $t$ la cumplen), la solución al problema son todos los polinomios de la forma $p(t)=at^2+bt$ para ciertos $a,b\in\mathbb{R}$.
Nota. Esta solución puede considerarse avanzada al usar el resultado de identidad de polinomios de varias variables. Otra versión también avanzada que en el fondo explota la misma idea es derivar ambos miembros primero respecto de la variable $x$, luego respecto de la variable $y$ y finalmente respecto de la variable $z$: la ecuación queda $p'''(x+y+z)=0$ para todo $x,y,z\in\mathbb{R}$, que nos lleva también a que $p$ es de segundo grado a lo sumo.
