Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Un cuadrado perfecto no puede terminar en $2$, lo que reduce considerablemente el número de posibles terminaciones. Además, como es par, las dos últimas cifras de $n^2$ deben formar un múltiplo de $4$, luego estas solo pueden ser $04$, $20$, $24$ o $40$, de las cuales podemos descartar $20$ y $40$ (ya que $n^2$ sería múltiplo de $10$ pero no de $100$). De aquí, obtenemos que las cuatro últimas cifras de $n^2$ solo pueden ser $2204$, $0224$ o $2024$. Podemos descartar $2024$ ya que en tal caso $n^2$ es múltiplo de $8$ pero no de $16$. También podemos descartar también $2204$, porque entonces $\frac{n^2}{4}$ sería un cuadrado que terminaría en $51$ luego la cifra de las unidades de $n$ sería $1$ o $9$. Sin embargo, $(10a+9)^2$ y $(10a+9)^2$ tienen la cifra de las decenas par para todo $a$ y esto nos dice que no hay cuadrados que terminen en $51$.

Para ver qué ocurre con $0224$, pongamos $n=100a+10b+c$, con $0\leq a,b,c\leq 9$ respectivamente. Podemos hacer la multiplicación siguiente: \[\begin{array}{ccccc} &&a&b&c\\ &\times&a&b&c\\\hline &&ac&bc&c^2\\ &ab&b^2&bc&\\ a^2&ab&ac&&\\\hline a^2&2ab&b^2\!+\!2ac&2bc&c^2 \end{array}\] y ahora ir cuadrando las cifras desde las unidades a las centenas. Esto es bastante rutinario, pero hay que tener cuidado de tener en cuenta las llevadas (no se han escrito en la multiplicación anterior ya que dependen de los valores concretos de $a,b,c$). En las unidades tenemos que $c^2\equiv 4\ (\text{mód } 10)$, con soluciones $c=2$ y $c=8$.

• Si $c=2$, entonces en las decenas tenemos que $6b\equiv 2\ (\text{mód }10)$, que tiene soluciones $b=3$ y $b=8$. Para que $10b+c$ sea múltiplo de $4$, tiene que ser $b=3$, luego las centenas cuadran cuando $4a\equiv 2\ (\text{mód }10)$, que tiene soluciones $a=3$ y $a=8$. Tenemos que $332^2=110224$ sí cumple la condición pero $832^2=692224$ no.
• Si $c=8$, entonces $6b\equiv 6\ (\text{mód }10)$, que tiene soluciones $b=1$ y $b=6$. Para que $10b+c$ sea múltiplo de $4$, tiene que ser $b=6$. Cuandrando las centenas, tenemos que $6a\equiv 6\ (\text{mód }10)$, que tiene soluciones $a=1$ y $a=6$. Sin embargo, las unidades de millar de $168^2=28224$ ni $668^2=446224$ no cuadran.

Hemos probado así que $n=332$ es la única solución al problema.