Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El logaritmo del numerador es igual a \[\frac{1}{ab}\log(a+b)+\frac{1}{bc}\log(b+c)+\frac{1}{ca}\log(c+a),\] que es una combinación de logaritmos con coeficientes positivos. Esto nos da pie a usar la desigualdad de Jensen (ver la nota) para la función $f(x)=\log(x)$, que es cóncava, aplicada a los números $x_1=a+b$, $x_2=b+c$ y $x_3=c+a$ con pesos $\frac{1}{ab}$, $\frac{1}{bc}$ y $\frac{1}{ca}$, respectivamente. Esto nos da \begin{align*} \frac{\frac{1}{ab}\log(a+b)+\frac{1}{bc}\log(b+c)+\frac{1}{ca}\log(c+a)}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}&\leq\log\left(\frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}+\frac{c+a}{ca}\right)\\ &=\log\left(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right). \end{align*} Por tanto, podemos despejar \begin{align*} \log\left(\frac{(a+b)^{\frac{1}{ab}}(b+c)^{\frac{1}{bc}}(c+a)^{\frac{1}{ca}}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)&\leq \log(2)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\\ &=\log(2)\cdot\frac{a+b+c}{abc}=\log(2).\\ \end{align*} Haciendo la exponencial de ambos miembros, se tiene la desigualdad del enunciado.

Nota. La desigualdad de Jensen nos dice que si $f(x)$ es una función cóncava en un intervalo $[a,b]$ y tenemos puntos $x_1,\ldots,x_n\in [a,b]$ y pesos $w_1,\ldots,w_n\gt 0$, entonces \[\frac{w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+\ldots+w_nf(x_n)}{w_1+w_2+\ldots+w_n}\leq f(\frac{w_1x_1+w_2x_2+\ldots+w_nx_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}).\]