Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Usando reiteradamente que podemos sustituir un producto de algunas de las variables por el inverso del producto de las restantes, podemos transformar la condición del enunciado como sigue: \begin{align*} 0&=a+\tfrac{1}{a}+b+\tfrac{1}{b}+c+\tfrac{1}{c}+d+\tfrac{1}{d}\\ &=a+bcd+b+acd+c+abd+d+abc\\ &=(ab+1)c+(ab+1)d+(cd+1)a+(cd+1)b\\ &=(ab+1)(c+d)+(cd+1)(a+b)\\ &=(ab+1)(c+d)+(\tfrac{1}{ab}+1)(a+b)\\ &=(ab+1)(c+d)+(1+ab)(\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b})\\ &=(ab+1)(c+d+bcd+acd)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(bd+1)c)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(\tfrac{1}{ac}+1)c)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(ac+1)bcd)\\ &=(ab+1)((ac+1)d+(ac+1)\tfrac{1}{a})\\ &=(ab+1)(ac+1)(1+bc)d\\ &=(ab+1)(ac+1)(ad+1)\tfrac{1}{a}, \end{align*} de donde se deduce que $(ab+1)(ac+1)(ad+1)=0$ y, por tanto, alguno de los números $ab,ac,ad$ debe ser igual a $-1$.

Nota. En la solución oficial se razona en la dirección opuesta desarrollando $(ab+1)(ac+1)(ad+1)$ y usando la condición del enunciado para ver que el resultado es $0$. Sin embargo, suele ser más habitual comenzar manipulando lo que nos dan para ver a dónde llegamos. Existen muchas manipulaciones distintas que dan el resultado.