Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dados dos puntos $p_1=(x_1,y_1)$ y $p_2=(x_2,y_2)$ en el plano, denotamos por $\mathcal R(p_1,p_2)$ el rectángulo de lados paralelos a los ejes de coordenadas que tiene los dos puntos como esquinas opuestas, es decir, \[\mathcal R(p_1,p_2)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\left|\begin{array}{l}\min(x_1,x_2)\leq x\leq\max(x_1,x_2)\\\min(y_1,y_2)\leq y\leq\max(y_1,y_2)\end{array}\right.\right\}.\] Determinar el mayor valor de $k$ tal que el siguiente enunciado es cierto: Para todo conjunto $\mathcal S\subset\mathbb{R}^2$ con $2024$ elementos, existen dos puntos $p_1,p_2\in\mathcal S$ tales que $\mathcal S\cap\mathcal R(p_1,p_2)$ tiene al menos $k$ elementos.