Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1139
Un cuadrado mágico de orden $n$ es una tabla formada por $n^2$ números enteros dispuestos en $n$ filas y $n$ columnas, de forma que todas las filas, columnas y las dos diagonales tengan la misma suma. Por ejemplo, el siguiente es un cuadrado mágico de orden $4$ que se encuentra en la Fachada de la Pasión del Templo de la Sagrada Familia en Barcelona:
\begin{bmatrix}
1&14&14&4\\
11&7&6&9\\
8&10&10&5\\
13&2&3&15
\end{bmatrix}
La pregunta es: ¿existe algún cuadrado mágico de orden $2021$ formado por números enteros distintos y de manera que los últimos cuatro dígitos de cada uno de ellos sean $2022$ (en este orden)?
pistasolución 1info
Pista. ¿Cómo puedes obtener dicho cuadrado a partir de uno con los números del $1$ al $2021^2$?
Solución. Existen métodos para construir cuadrados mágicos de cualquier orden. Por ejemplo, el método del rombo para los cuadrados mágicos permite poner los números del $1$ al $n^2$ en las casillas de una cuadrícula $n\times n$ para formar un cuadrado mágico de un orden $n$ impar, lo que se aplica a nuestro caso $n=2021$. Ahora es suficiente con multiplicar todas las entradas del cuadrado obtenido por $10000$ y sumarles $2022$, lo que no altera la propiedad de ser mágico.
Nota. Este no es un problema de estilo olímpico ya que requeriría el conocimiento de un método de obtención de cuadrados mágicos (conocimiento demasiado específico) o bien desarrollar dicho método en la solución (razonamiento demasiado complicado).
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