Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La idea es darse cuenta de la suma de los términos de la progresión geométrica siguiente (véase la nota): \[\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\ldots=\frac{1}{3}.\] Esto quiere decir que podemos alcanzar un valor tan cercano como queramos a $\frac{1}{3}$ sin más que sumar suficientes términos de la sucesión. Ahora nos damos cuenta también de que \[\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\ldots=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\Bigl(\cdots\Bigr)\right)\right),\] luego podemos desarrollar \begin{align*} 2^{\frac{1}{3}}&=(2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\cdot(((2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\cdot (((((((2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\cdots\\ &=\sqrt{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}\cdot\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}}\cdots\\ &=\sqrt{\sqrt{2\sqrt{\sqrt{2\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}} \end{align*} Para escribir esto en una calculadora que funciona de la forma usual (estilo CASIO sin línea de comandos), tengamos en cuenta que:

• La tecla $[\times]$ multiplica el resultado en pantalla por el que introduzcamos a continuación.
• La tecla $[\sqrt{}]$ evalúa la operación pendiente y sustituye el resultado en pantalla por su raíz cuadrada.

Por ejemplo, para obtener la aproximación $\sqrt[3]{2}\approx 2^{\textcolor{red}{\frac{1}{4}+}\textcolor{blue}{\frac{1}{16}+}\textcolor{green}{\frac{1}{64}}}$, usamos la siguiente combinación de teclas: \[\textcolor{green}{[2][\sqrt{}][\sqrt{}][\sqrt{}][\sqrt{}]}\textcolor{blue}{[\times][2][\sqrt{}][\sqrt{}]}\textcolor{red}{[\times][2][\sqrt{}][\sqrt{}]}\] donde cada bloque de un color distinto refleja uno de los sumandos. Si quisiéramos aproximar mejor, tendríamos que añadir al inicio [2] seguido de 8,16,32,... veces la tecla $[\sqrt{}]$ y obtendremos así aproximaciones cada vez mejores.

Nota. Una forma elemental (aunque no es matemáticamente rigurosa) para justificar el valor de la suma de los términos de la progresión geométrica es tomar \[S=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\ldots\ \Longrightarrow\ \frac{1}{4}S=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\ldots\] Por tanto, restando ambas igualdades se cancelan todos los términos menos el primero: \[S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}\ \Leftrightarrow\ S=\frac{1}{3}.\]