Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El problema consiste en determinar si el número de participantes es par o impar, sabiendo que los estudiantes deben ser capaces de conocer sus notas a partir de las medias dadas. Llamemos $n$ al número de participantes y $x_1,\ldots,x_n$ a las notas en el orden que están sentados. Consideremos en primer lugar los siguientes casos:

• Si $n=2$, aunque no se considera en el enunciado, tenemos que sólo hay una media $m_1=\frac{x_1+x_2}{2}$ y muchas parejas de números ($x_1$ y $x_2$) producen la misma media, luego no se pueden determinar. Es importante darse cuenta de si los dos estudiantes tuvieran la nota máxima o mínima, entonces la media también sería la nota máxima o mínima y sí podrían determinarse, pero esta opción no es posible según el enunciado.
• En el caso $n=3$, si llamamos $m_1=\frac{x_1+x_2}{2}$, $m_2=\frac{x_2+x_3}{2}$ y $m_3=\frac{x_3+x_1}{2}$ a las tres medias, entonces se puede determinar $x_1=m_1+m_3-m_2$, $x_2=m_1+m_2-m_3$ y $x_3=m_2+m_3-m_1$. Estas fórmulas permiten a los tres participantes obtener su nota a partir de las tres medias.

Supongamos ahora que $n\geq 4$ y consideremos las notas consecutivas $x_1,x_2,x_3,x_4$. Tenemos entonces que \[\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{x_2+x_3}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}=\frac{x_1+x_4}{2},\] luego si eliminamos a los participantes en las posiciones $2$ y $3$, también conocemos las medias de los restantes (ahora las posiciones $1$ y $4$ son contiguas). Por tanto, resolver el problema para $n$ participantes es equivalente a resolverlo para $n-2$. Podemos repetir el proceso restando de dos en dos participantes hasta quedarnos con sólo dos o tres, en cuyo caso aplicamos los casos ya estudiados. Deducimos que si los estudiantes pueden hallar su nota, entonces $n$ es impar.

Nota. Esta es una solución dada por Samuel Gómez Moreno, proponente también del problema original.

Solución. Llamemos $x_i$ a la nota del estudiante $i$-ésimo (en el orden circular dado por la mesa) y $m_i$ a la media de $x_i$ y $x_{i+1}$, siendo $x_{n+1}=x_1$ y $n$ el número total de participantes.

• Si $n$ es impar, entonces usamos que $\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nm_i$. Si llamamos a esta suma $S$, como $n$ es impar, podemos calcular \[x_1=S-(x_2+x_3+\ldots+x_n)=S-2(m_2+m_4+\ldots+m_{2n-1}).\] El resto de notas $x_2,x_3,\ldots,x_n$ pueden obtenerse por un procedimiento similar. Por tanto, $x_1,\ldots,x_n$ están determinados por las medias $m_1,\ldots,m_n$.
• Si $n$ es par, entonces a quienes se sientan en posiciones impares se les puede sumar una cantidad positiva $a$ y a quienes se sientan en las pares restarles $a$. Como este procedimiento no altera ninguna de las medias, deducimos que no pueden determinarse las notas a partir de estas. El número $a$ debe ser positivo y suficientemente pequeño para no pasar de la nota máxima ni de la nota mínima, y este número existe porque ningún participante tiene la nota máxima ni mínima.

Nota. Otra forma de descartar el caso en que $n$ es par es observar que las medias satisfacen $m_1+m_3+\ldots+m_{n-1}=m_2+m_4+\ldots+m_{n}$, luego el sistema lineal formado por las ecuaciones de la forma $x_i+x_{i+1}=2m_i$ tiene al menos un grado de libertad, esto es, $x_1,\ldots,x_n$ no están determinados.