Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $n$ es un cuadrado perfecto con todas sus cifras iguales y llamemos $a$ a la cifra de las unidades de $n$. Por un lado, si $n$ tiene todas sus cifras iguales, entonces $n=ab$ siendo $b$ un número formado sólo por unos. Por otro lado, los únicos valores posibles de $a$ son $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ y $9$ (ya que depende sólo de la cifra de las unidades del número del que $n$ es cuadrado).

• No puede ser $a=0$ porque entonces sería $n=0\cdot b=0\lt 10$.
• No puede ser $a=5$ porque entonces $b$ tendría otro factor $5$, pero claramente $b$ no es múltiplo de $5$.
• No puede ser $a=6$ por la misma razón ($b$ tendría otro factor $2$ pero no es un número par).

En el resto de casos $a=1$, $a=4$ y $a=9$, el propio $a$ es un cuadrado perfecto, luego tendremos que ver que el número $b$ formado sólo por unos no lo es. Por reducción al absurdo, si $b=m^2$ fuera un cuadrado perfecto, entonces la cifra de las unidades de $m$ será $1$ o $9$, luego $m=10k+1$ o bien $m=10k+9$ para cierto $k\geq 1$. Elevando al cuadrado tenemos que \[b=(10k+1)^2=100k^2+20k+1=20(5k^2+k)+1,\] luego $b$ es un múltiplo de $20$ más $1$, es decir, la cifra de las decenas de $b$ es par, lo que contradice que $b$ está formado sólo por unos. De la misma forma, \[(10k+9)^2=100k^2+180k+81=20(5k^2+9k+4)+1\] no puede estar formado sólo por unos.

Solución. Las dos últimas cifras de $n^2$ dependen exclusivamente de las dos últimas cifras de $n$. Esto se debe a que, si $n=100k+p$, donde $0\leq p\leq 99$ representa a las dos últimas cifras de $n$, entonces $n^2=100(100k^2+2kp)+p^2$.

Los únicos números naturales menores que $100$ cuyos cuadrados tienen repetida las cifras de las unidades y las decenas (y son no nulas) son $12$, $38$, $62$ y $88$, que cumplen que $12^2=144$, $38^2=1444$, $62^2=3844$ y $88^2=7744$. Hemos reducido el problema a buscar los números naturales $m$ tales que $m^2=44\ldots4=4\cdots 11\ldots1$. Esto exige que $\frac{m}{2}$ sea impar (ya que el cuadrado de un número par es par). Podemos escribir $\frac{m}{2}=2l+1$ para cierto número $l$, de donde $(2l+1)^2=11\ldots1$ o bien $4l(l+1)=11\ldots10$. Esto no es posible porque los múltiplos de $4$ tienen sus dos últimos dígitos $00$ o múltiplo de $4$, pero $10$ no es múltiplo de $4$.

Nota. Esta es una solución aportada por Samuel Gómez Moreno.