Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Usando el teorema de Pitágoras y teniendo en cuenta el origen $O=(0,0)$, las longitudes de los lados al cuadrado son \[OA^2=a^2+11^2,\qquad OB^2=b^2+37^2,\qquad AB^2=(a-b)^2+26^2.\] Por tanto, podemos resumir la condición de ser equilátero en un sistema de dos ecuaciones con las dos incógnitas $a$ y $b$: \begin{align*} OA=OB&\ \Longleftrightarrow\ a^2-b^2=1248\\ OA=AB&\ \Longleftrightarrow\ 2ab-b^2=555. \end{align*} Como cambiar ambas incógnitas de signo sigue produciendo una solución y no cambia el producto $ab$, podemos suponer que $a$ es positivo y despejar de la primera ecuación $a=\sqrt{1248+b^2}$. Sustituyendo esto en la segunda, obtenemos que \begin{align*} 2b\sqrt{1248+b^2}-b^2=555&\ \Longleftrightarrow\ 4b^2(1248+b^2)=(555+b^2)^2\\ &\ \Longleftrightarrow\ 3(b^4+3882 b^2-308025=0\\ &\ \Longleftrightarrow\ b^4+1294 b^2-102675=0. \end{align*} Esta ecuación se puede resolver como una bicuadrada, lo que nos da $b^2=75$ o bien $b^2=-1379$. Esta segunda solución hemos de descartarla ya que $b$ es un número real. Por tanto, de la ecuación original $2ab-b^2=555$, deducimos finalmente que \[ab=\tfrac{1}{2}(555+b^2)=\tfrac{1}{2}(555+75)=315.\]

Nota. No es difícil terminar el razonamiento y ver que las soluciones al problema son \[(a,b)=\left(21\sqrt{3},5\sqrt{3}\right)\qquad\text{y}\qquad (a,b)=\left(-21\sqrt{3},-5\sqrt{3}\right).\]