Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideramos la ecuación \[(\star)\quad \frac{2x-7}{2x^2-2x-5}=k\ \Longleftrightarrow\ 2kx^2-2(k+1)x-5k+7=0.\] El discriminante de esta ecuación de segundo grado es \[\Delta=4(k+1)^2-8k(7-5k)=4(1-12k+11k^2)=44(k-1)(k-\tfrac{1}{11})\] y tiene que ser $\Delta\geq 0$ para que $(\star)$ tenga solución. Deducimos directamente que $(\star)$ tiene solución si y sólo si, $k\geq 1$ o $k\leq \frac{1}{11}$, luego la solución a la cuestión del enunciado es $k=\frac{1}{11}$.

Nota. Esta es una solución sin derivadas, aunque es obvio que el problema se puede resolver fácilmente estudiando máximos y mínimos. Tenemos que \[f(x)=\frac{2x-7}{2x^2-2x-5}\ \Longrightarrow\ f'(x)=\frac{-4(x-1)(x-6)}{(2 x^2-2x-5)^2}\] luego $f'(x)=0$ sólo si $x=1$ o $x=6$. Analizando las asíntotas verticales y horizontales de $f(x)$, se puede ver que no hay valores de $f(x)$ entre el máximo local $f(6)=\frac{1}{11}$ y el mínimo local $f(1)=1$.