Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Utilizaremos la propiedad de que $x-y$ divide a $p(x)-p(y)$ para cualesquiera números enteros $x$ e $y$ por tener $p(x)$ coeficientes enteros. Razonaremos que no puede existir el entero $k$ por reducción al absurdo suponiendo que sí que existe.

Tomando $x=k$ e $y=a$, esta propiedad nos dice que $k-a$ divide a $p(k)-p(a)=7$, luego $k-a$ tiene que ser igual a $\pm 1$ o $\pm 7$, los factores enteros de $7$. Análogamente, para $x=k$ e $y=a+1$, se tiene que $k-a-1$ divide a $p(k)-p(a+1)=7$, luego $k-a-1$ tiene que ser igual a $\pm 1$ o $\pm 7$, esto es, $k-a$ tiene que ser igual a $-6$, $0$, $2$ u $8$, lo cual es absurdo (tenía que ser $\pm 1$ o $\pm 7$).

Nota. No se ha usado la hipótesis de que $p(a+2)=1$.