Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos la primera sucesión; si no está acotada, entonces admite una subsucesión estrictamente creciente; si está acotada, entonces toma solo un número finito de valores y existe una subsucesión que sea constante. En cualquiera de los dos casos, tenemos una subsucesión creciente de la primera sucesión. Consideramos la subsucesión de la segunda sucesión formada por los mismos índices, a la que puede aplicarse el mismo razonamiento para pasar a una subsucesión creciente. Finalmente, consideramos los términos de la tercera sucesión con los mismos índices que en la segunda subsucesión y aplicamos el mismo razonamiento. Para los (infinitos) índices de la tercera subsucesión, las tres sucesiones nos dan subsucesiones creciente luego pueden elegirse $m$ y $n$ cualesquiera índices de entre ellos y tenemos la propiedad buscada.

Nota. El resultado puede extenderse a cualquier número finito de sucesiones.