Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El área $S$ del triángulo es la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman, luego tenemos que $S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot\operatorname{sen}(B)$. Como el seno es menor que $1$, se tiene que $S\leq\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot 1=1$ y la igualdad se alcanza si y sólo si $AB=1$, $BC=2$ y $B=90^\circ$ (el único ángulo para el que el seno puede valer $1$). En tal caso, el triángulo es rectángulo y el teorema de Pitágoras nos dice que $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5}$. Como este número está en el intervalo $[2,3]$, el máximo $S=1$ se alcanza en las condiciones del enunciado, luego este es el valor buscado.

Nota. El mismo razonamiento vale cambiando los números $0,1,2,3$ por otros. Lo que ocurre es que posiblemente no podamos llegar hasta $B=90^\circ$ por las restricciones sobre $AC$ y tengamos que discutir dónde el seno es máximo.