Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sean $M,N,P,Q$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente, tal y como se indica en la figura. Los triángulos $AMO$ y $BNO$ son congruentes ya que $MB=BN$ y $\angle MBO=\angle NBO$ por la tangencia y también $BO$ es común a ambos triángulos. Por esto, se tiene que $\angle MOB=\angle NOB$. De la misma manera, se prueba que $\angle NOC=\angle POC$, que $\angle POD=\angle DOQ$ y que $\angle QOA=\angle AOM$. En la figura, se indican con el mismo color ángulos iguales, luego está claro que $\angle AOB+\angle COD=180^\circ$ ya que esta suma tiene un ángulo de cada color y el doble sería el ángulo completo de $360^\circ$.