Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El problema está mal planteado pues no se puede conseguir en general una ecuación con exactamente las mismas raíces. Por ejemplo, la ecuación cuadrática $\cos^2(x)-\cos(x)=0$ se obtiene para $(a,b,c)=(1,-1,0)$ y tiene exactamente tres raíces ($x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ y $x=\frac{3\pi}{2}$) módulo $2\pi$. En cambio, cualquier ecuación cuadrática en $\cos(2x)$ tiene un número par de raíces módulo $2\pi$ ya que si $x$ es solución, entonces $x+\pi$ también lo es. Por lo tanto, vamos a reformular el problema buscando una ecuación cuadrática que contenga a las soluciones de la original, aunque pueda tener más soluciones (es muy probable que esta fuera la idea original), Por comodidad, vamos a llamar $y=\cos(x)$ y $z=\cos(2x)$. De la igualdad fundamental $\cos^2(x)+\operatorname{sen}^2(x)=1$ y de la fórmula para el ángulo doble $\cos(2x)=\cos^2(x)-\operatorname{sen}^2(x)$ podemos despejar $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ o bien $y^2=\frac{1}{2}(z+1)$. Por lo tanto, tendremos que escribir una ecuación en términos de $y^2$.

Elevando al cuadrado la ecuación original $ay^2+by+c=0$, obtenemos \begin{align*} 0=(ay^2+by+c)^2&=a^2y^4+(b^2+2ac)y^2+c^2+2by(ay^2+c)\\ &=a^2y^4+(-b^2+2ac)y^2+c^2+2by(ay^2+by+c) \end{align*} De aquí deducimos que, si $y$ es solución de la ecuación original, entonces \[0=(ay^2+by+c)(ay^2-by+c)=a^2y^4+(-b^2+2ac)y^2+c^2.\] Por lo tanto, la ecuación que buscamos es \[\tfrac{1}{4}a^2(z+1)^2+\tfrac{1}{2}(-b^2+2ac)(z+1)+c^2=0.\] Para $(a,b,c)=(4,2,-1)$, obtenemos \[0=4(z+1)^2-6(z+1)+1=4z^2+2z-1,\] es decir, obtenemos los mismos coeficientes originales.