Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se elige un punto arbitrario $M$ en el interior de un segmento $AB$. Se toman cuadrados $AMCD$ y $MBEF$ al mismo lado de $AB$, siendo los segmentos $AM$ y $MB$ sus bases. Las circunferencias circunscritas a estos cuadrados, con centros en $P$ y $Q$, se cortan en $M$ y también en otro punto $N$. Sea $N'$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$.

1. Demostrar que los puntos $N$ y $N'$ coinciden.
2. Demostrar que la recta $MN$ pasa por un punto $S$ al variar $M$.
3. Encontrar el lugar geométrico del punto medio del segmento $PQ$ al variar $M$.