Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La raíz está bien definida para $x\geq\frac{-1}{2}$, pero el denominador se anula precisamente en $x=0$, por lo que el dominio en que se mueve $x$ es $D=[\frac{-1}{2},0)\cup(0,\infty)$. Como ambos miembros de la desigualdad son funciones continuas en $D$, estudiaremos cuándo son iguales para entender dónde puede producirse los cambios de signo.

En este conjunto $D$, podemos multiplicar numerado y denominador por la expresión conjugada $(1+\sqrt{1+2x})^2$ para expresar equivalentemente \begin{align*} 2x+9=\frac{4x^2(1+\sqrt{1+2x})^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2(1+\sqrt{1+2x})^2}&=\frac{4x^2(1+\sqrt{1+2x})^2}{(1-(1+2x))^2}\\ &=(1+\sqrt{1+2x})^2=2+2x+2\sqrt{1+2x}. \end{align*} Así nos queda la ecuación $7=2\sqrt{1+2x}$, que nos da rápidamente la única posible solución $x=\frac{45}{8}$. Los puntos de $D$ en los que puede cambiar el signo de la desigualdad original son, por el teorema de Bolzano, $x=0$ (donde se pierde la continuidad) y $x=\frac{45}{8}$. Damos valores a $x$ en cada uno de los intervalos $[\frac{-1}{2},0)$, $(0,\frac{45}{8})$ y $(\frac{45}{8},+\infty)$ para comprobar dicho signo.

• En $x=\frac{-1}{2}$, la desigualdad del enunciado queda $1\lt 8$, que es cierta, luego la desigualdad se cumple en todo $[\frac{-1}{2},0)$.
• En $x=4$, la desigualdad queda $16\lt 17$, que también es cierta, luego se cumple en todo $(0,\frac{45}{8})$.
• En $x=12$, la desigualdad queda $36\lt 27$, que en este caso es falsa, luego es falsa en todo $(\frac{45}{8},+\infty)$.

En resumen, hemos visto que la desigualdad del enunciado se cumple únicamente para $x\in[\frac{-1}{2},0)\cup(0,\frac{45}{2})$.

Nota. El truco de multiplicar por el conjugado en realidad nos dice que la fracción de la izquierda tiene una discontinuidad evitable en $x=0$. Se soluciona definiendo el valor esta fracción como $3$ en $x=0$ pero, tal y como está planteado el problema, hay que excluir necesariamente $x=0$ de la solución.