Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Un conjunto especial de tres elementos es $\{2,3,4\}$. Veamos ahora que no existen cuatro números en progresión aritmética que formen un conjunto especial. Para ello, supongamos que $a$, $a+b$, $a+2b$ y $a+3b$ forman un conjunto especial y lleguemos a una contradicción. Observemos en primer lugar que si tomamos $d=\mathrm{mcd}(a,b)$ y $d\neq 1$, entonces considerando $a'=\frac{a}{d}$ y $b'=\frac{b}{d}$, los números $a'$, $a'+b'$, $a'+2b'$ y $a'+3b'$ también están en progresión aritmética, forman un conjunto especial y $\mathrm{mcd}(a',b')=1$. Por tanto, podemos suponer que el máximo común divisor de $a$ y $b$ es uno. En esta situación, $a(a+b)$ es divisible por $b^2$ por ser el conjunto especial luego $a^2+ab=a(a+b)=kb^2$ para cierto entero $k$, de donde $a^2=(k-a)b$ es divisible por $b$ lo cual, salvo que $b=1$, es imposible ya que habíamos supuesto que $\mathrm{mcd}(a,b)=1$. Por tanto, el conjunto ha de ser de la forma $\{a, a+1, a+2, a+3\}$ pero entonces como es especial se tiene que $a(a+2)$ y $(a+1)(a+3)$ son divisibles por $4$ pero uno de estos dos números es impar y hemos llegado a la contradicción buscada.