Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces podemos sustituir $a=x+y$, $b=y+z$ y $c=z+x$, siendo ahora $x,y,z$ números positivos arbitrarios. Esto nos da la siguiente desigualdad a demostrar \[2z(x+y)^2+2x(y+z)^2+2y(z+x)^2\leq 3(x+y)(y+z)(x+z).\] Haciendo todos los productos indicados, nos queda equivalentemente \[xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+zx^2+xz^2\leq 6xyz.\] Esta última desigualdad es consecuencia de aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los seis sumandos (observemos que son números positivos), es decir, \[\frac{xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+zx^2+xz^2}{6}\leq\sqrt[6]{xy^2\cdot x^2y\cdot yz^2\cdot y^2z\cdot zx^2\cdot xz^2}=xyz.\]