Olimpiadas de Matemáticas
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El Banco de Oslo emite dos tipos de monedas: de aluminio (denotadas por $A$) y de bronce (denotadas por $B$). Mariana tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de bronce, colocadas en fila en un orden inicialmente arbitrario. Una cadena es una sucesión de monedas consecutivas todas del mismo tipo. Dado un entero positivo $k\leq 2n$, Mariana realiza repetidamente la siguiente operación: primero identifica la cadena más larga que contiene la $k$-ésima moneda desde la izquierda y después reubica todas las monedas de esa cadena al extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n=4$ y $k=4$, el proceso que comienza con el orden inicial $AABBBABA$ será \begin{align*} AAB\underline{B}BABA &\to BBB\underline{A}AABA \to AAA\underline{B}BBBA\to\\ &\to BBB\underline{B}AAAA \to BBB\underline{B}AAAA \to \cdots \end{align*} Hallar todas las parejas $(n,k)$ con $1\leq k\leq 2n$ tales que, cualquiera que sea el orden inicial, en algún momento durante el proceso las $n$ monedas de la izquierda serán todas del mismo tipo.