Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\{a_1, a_2, a_3,\ldots\}$ una sucesión infinita de enteros positivos y sea $N$ un entero positivo. Supongamos que, para cada $n\gt N$, $a_n$ es igual al número de veces que aparece el valor $a_{n−1}$ en la lista finita $\{a_1,a_2,\ldots, a_{n−1}\}$. Demostrar que al menos una de las sucesiones $\{a_1, a_3, a_5,\ldots\}$ y $\{a_2, a_4, a_6,\ldots\}$ es eventualmente periódica.

Nota: Una sucesión infinita $\{b_1, b_2, b_3,\ldots\}$ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $p$ y $M$ tales que $b_{m+p}=b_m$ para todo $m\geq M$.