Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Andaluza |
| OME Nacional |
| OIM |
| IMO |
| EGMO |
| USAMO |
| ASU |
| OMCC |
| Retos UJA |
Buscar problemas
La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1340
OMCC, 2023-P1
Cada entero positivo se colorea de azul o de rojo de forma que la suma de cualesquiera dos números (no necesariamente distintos) del mismo color, sea azul. Determinar todas las coloraciones posibles del conjunto de los enteros positivos que sigan esta regla.
pistasolución 1info
Pista. Observa que todos los pares deben ir de azul. ¿Qué ocurre con los impares entonces?
Solución. Los números pares tienen que ser necesariamente azules ya que se obtienen como suma de un número (su mitad) consigo mismo. Por tanto, si un número impar $2k+1$ está pintado de azul, se tiene que todos los siguientes impares $2k+3=(2k+1)+2$, $2k+5=(2k+1)+4$,... también tienen que estar pintados azules. Nos quedan, en consecuencia, las siguientes coloraciones:
- Todos los pares de azul y todos los impares de rojo.
- Todos los enteros de azul salvo los primeros $n$ impares, que están pintados de rojo, para cierto $n\geq 0$. En particular, para $n=0$, tendríamos todos los enteros pintados de azul.
Es fácil ver que estas dos formas de pintar cumplen la regla de coloración, luego son las únicas posibilidades.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2025. Esta página ha sido creada mediante software libre