Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La idea que vamos a seguir es que la suma de los $500$ productos sea $m=999$, luego tendremos que producir un número $n$ que sea múltiplo de $9\cdot 111$. Podemos conseguir este número únicamente con unos y doses tomando \[n=1221\,111\,111\ldots 111\,222\,222\ldots 222,\] donde después de $1221$ escribimos $171$ grupos de tres unos consecutivos y $161$ grupos de tres doses consecutivos, lo que hace un total de $515$ unos y $485$ doses en la expresión anterior de $n$, es decir, $n$ tiene exactamente $1000$ dígitos. Observamos que cada grupo de tres dígitos iguales es múltiplo de $111$ y que $1221=11\cdot 111$ también lo es, luego $n$ es múltiplo de $111$ y, más específicamente, \[\frac{n}{111}=11\,001\,001\ldots 001\,002\,002\ldots 002.\] Este último número tiene $173$ unos y $162$ doses, luego la suma de sus dígitos es igual a $173\cdot 1+162\cdot 2=495$, que es múltiplo de $9$. Por lo tanto, $\frac{n}{111}$ es múltiplo de $9$ y hemos probado de esta manera que $n$ es múltiplo de $999$.

Queda por ver que podemos emparejar los dígitos para obtener una suma de productos $m=999$. Para ello, hacemos $457$ parejas $(1,2)$, $29$ parejas $(1,1)$ y $14$ parejas $(2,2)$, lo que nos da \[m=457\cdot 1\cdot 2+29\cdot 1\cdot 1+14\cdot 2\cdot 2=999\] y hemos terminado.

Nota. Aunque los números aparecen sacados de la manga, en realidad sólo hay que hacer ciertos ajustes. Por ejemplo, si suponemos que hay $a$ grupos de tres unos y $b$ grupos de tres doses, tiene que cumplirse que $a+b=332$ y, para que $n$ sea múltiplo de $999$, tiene que ser $a$ múltiplo de $9$. Por otro lado, en los emparejamientos comenzamos poniendo $485$ parejas $(1,2)$ y $15$ parejas $(1,1)$, lo que nos da $m=985$; ahora basta darse cuenta de que cambiar dos parejas $(1,2)$ por una $(1,1)$ y otra $(2,2)$ aumenta $m$ en una unidad, por lo que habrá que hacer $14$ de tales cambios.