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Problema 1367
OMCC, 1999-P4
En un trapecio $ABCD$, siendo $AB$ y $CD$ paralelas, sea $M$ el punto medio del lado $DA$. Si $\angle MCB=150^\circ$, hallar el área de $ABCD$ en función de $a=BC$ y $b=MC$.
pistasolución 1info
Pista. Prolonga el segmento $CM$ hasta cortar a la recta $AB$.
Solución. Prolongamos $CM$ hasta que corte en un punto $P$ a la recta $AB$.Los triángulos $CMD$ y $PAM$ son congruentes ya que tienen sus lados paralelos y $AM=MD$. Por lo tanto, el área de $ABCD$ es igual al área del triángulo $PCB$, que puede calcularse como el semiproducto de dos lados por el seno del ángulo que forman, esto es,
\[\text{Area}(ABCD)=\tfrac{1}{2}\cdot CP\cdot CB\cdot\operatorname{sen}\angle PCB=\tfrac{1}{2}\cdot 2b\cdot a\cdot\operatorname{sen}150^\circ=\tfrac{1}{2}ab.\]
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