Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que se colocan los números del $1$ al $n$ como se dice en el enunciado y elijamos una cadena de números pares consecutivos lo más larga posible y que están precedidos y seguidos de un número impar, es decir \[\text{impar}\to\text{par}\to\text{par}\to\ \ldots\ \to\text{par}\to\text{impar}.\] Entonces, está claro que solo puede haber un número par ya que, si hubiera dos o más, el penúltimo tendría que dividir a una suma impar. También está claro que antes del primer impar y después del último debe haber sendos impares ya que un número par debe dividir a una suma necesariamente par. En otras palabras, siempre que encontramos un número par sigue el siguiente esquema: \[\text{impar}\to\text{impar}\to\text{par}\to\text{impar}\to\text{impar}.\] Si $n\geq 3$, entonces hay al menos dos números del $1$ al $n$ pares, luego el esquema anterior nos asegura que el número de impares debe ser al menos dos unidades mayor que el número de pares y esto es imposible. Nos queda el caso $n=3$, en el que sí es posible ya que podemos colocar $1\to 3\to 2$.

Por lo tanto, $n=3$ es la única solución.