Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Con dos piezas de tipo U y una de tipo + se puede formar un rectángulo $3\times 5$ o $5\times 3$, lo que nos dice que claramente que cuando $n$ es múltiplo de $3$ o múltiplo de $5$, se pueden ensamblar las piezas para formar un rectángulo $15\times n$. De hecho, yuxtaponiendo rectángulos $15\times 5$ y $15\times 3$, podemos conseguirlo para cualquier $n=3a+5b$ con $a,b\geq 0$ no ambos nulos. Esto nos deja solamente con los casos $n=1$, $n=2$, $n=4$ y $n=7$ por comprobar. Para $n=1$ claramente no se puede porque no cabe ninguna de las dos piezas en un rectángulo $15\times 1$. Para $n=2$ tampoco se puede, porque habría que poner únicamente piezas de tipo U y dejarían huecos. Un rectángulo $15\times 4$ tampoco se puede porque las esquinas deben necesariamente rellenarse con piezas de tipo U y precisamente dos esquinas de un lado corto (de $4$ cuadraditos) necesitan dos piezas en vertical que dejan huecos necesariamente. El caso $n=7$ tampoco puede conseguirse ya que en dos esquinas de un lado corto (de $7$ cuadraditos) debemos poner de nuevo piezas de tipo U y ninguna de las formas de colocarlas permite rellenar el resto de dicho lado con otras piezas para teselar el rectángulo sin salirse.