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Problema 1380
OMCC, 2001-P1
Dos jugadores $A$ y $B$ y otras $2001$ personas forman un círculo, de modo que $A$ y $B$ no quedan en posiciones consecutivas. $A$ y $B$ juegan por turnos alternadamente empezando por $A$. Una jugada consiste en tocar a una de las personas que se encuentran a su lado, la cual debe salir del círculo. Gana el jugador que logre sacar del círculo a su oponente. Demostrar que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.
pistasolución 1info
Pista. Observa la paridad de personas que quedan en cada uno de los dos arcos de circunferencia de extremos $A$ y $B$.
Solución. Como hay un número impar de jugadores, en uno de los dos arcos de extremos $A$ y $B$ habrá un número par de personas y en el otro un número impar. El primer jugador tiene una estrategia ganadora que consiste en eliminar primero una persona del arco que tiene un número par para dejar los dos con una cantidad impar de personas. A partir de ahí, $A$ sólo tiene que copiar el arco que ha elegido $B$ en su turno. Esto le garantiza que siempre queda un número impar de personas en cada arco tras su jugada; en particular, no quedan cero personas y $B$ no puede ganar en su turno siguiente. El primer jugador que deja un arco con ninguna persona es $B$ y en su siguiente turno $A$ lo elimina.
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