Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Comenzamos observando que ningún cuadrado perfecto termina en $3$ y que si termina en $0$, entonces termina en $00$. Por lo tanto, podemos dividir por $100$ tantas veces como sea necesario para suponer que la cifra de las unidades de $N$ no es cero (luego, tendremos que multiplicar las soluciones obtenidas por $100^n$ para recuperar todas las soluciones). Esto nos dice que tendremos que encontrar los números $N=3\cdot 10^a+m$ (para cierto dígito $m\neq 3$) que sean cuadrados perfectos. Podemos suponer además que $a\geq 2$ ya que para $a=1$, obtenemos únicamente la solución $N=36$ para $m=6$.

• Reduciendo módulo $9$, obtenemos que $3\cdot 10^a+m\equiv m+3\pmod{9}$ y los únicos cuadrados módulo $9$ son $0,1,4,7$, luego $m$ no puede ser igual a $0,2,5,8$.
• Reduciendo ahora módulo $4$, obtenemos que $3\cdot 10^a+m\equiv m\pmod{4}$ (aquí usamos que $a\geq 2$) y los únicos cuadrados módulo $9$ son $0,1,4,7$, luego $m$ no puede ser igual a $3,6,7$.
• Supongamos que $m=1$. Entonces, tenemos que $3\cdot 10^a+1=n^2$ para cierto entero $n$, es decir, $3\cdot 10^a=(n+1)(n-1)$. Estos dos últimos factores deben ser pares, pero sólo uno de ellos es múltiplo de $4$ ya que difieren en dos unidades; además, no pueden ser ambos múltiplos de $3$ ni de $5$ simultáneamente, luego los factores primos pueden distribuirse únicamente de cuatro maneras, lo que nos lleva a los siguientes escenarios:
  • Que los números $3\cdot 2^{a-1}$ y $2\cdot 5^a$ difieran en sólo dos unidades. Esto es imposible ya que $3\cdot 2^{a-1}\lt 3^a\lt 2\cdot 5^a$ y en la primera de estas desigualdades ya hay más de una unidad de diferencia al ser $a\geq 2$.
  • Que los números $3\cdot 2$ y $2^{a-1}\cdot 5^a$ difieran en sólo dos unidades. Esto es imposible.
  • Que los números $2^{a-1}$ y $2\cdot 3\cdot 5^a$ difieran en sólo dos unidades. Esto es imposible de nuevo.
  • Que los números $2$ y $2^{a-1}\cdot 3\cdot 5^a$ difieran en sólo dos unidades. También es imposible.
• Consideremos ahora el último caso $m=4$. De forma similar, tenemos que $3\cdot 10^a+4=n^2$ para cierto entero $n$, es decir, $3\cdot 10^a=(n+2)(n-2)$. Ahora los dos factores difieren en $4$ unidades y podemos suponer que $a\geq 3$ ya que $a=3$ nos da $N=304$ que no es cuadrado perfecto. Por lo tanto, uno de los dos factores es múltiplo de $4$ pero no de $8$. Tenemos entonces los siguientes escenarios:
  • Que los números $3\cdot 2^{a-2}$ y $2^2\cdot 5^a$ difieran en cuatro unidades. Esto es imposible igual que arriba ya que $3\cdot 2^{a-2}\lt 3^{a-1}\lt 4\cdot 5^a$ y ahora usamos que la segunda desigualdad nos da una diferencia mayor que $4$.
  • Que los números $3\cdot 2^2$ y $2^{a-2}\cdot 5^a$ difieran en cuatro unidades. Imposible.
  • Que los números $2^{a-2}$ y $2^2\cdot 3\cdot 5^a$ difieran en cuatro unidades. Imposible.
  • Que los números $2^2$ y $2^{a-2}\cdot 3\cdot 5^a$ difieran en cuatro unidades. Imposible.

Por lo tanto, hemos obtenido $N=36$ como el único número que cumple nuestras suposiciones adicionales. Las soluciones son $N=36\cdot 10^{2n}$ para $n$ entero no negativo.