Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Como tenemos una progresión aritmética, podemos escribir \[p_1=h-3d,\qquad q_1=h-d,\qquad p_2=h+d,\qquad q_2=h+3d.\] para ciertos números reales $a,d\in\mathbb{R}$. Podemos entonces factorizar \[ax^2+bx+c=a(x-p_1)(x-p_2)=ax^2-2a(h-d)x+a(h+d)(h-3d)\] y tenemos también (cambiando $a$ por $c$ y $d$ por $-d$): \[cx^2+bx+a=c(x-q_1)(x-q_2)=cx^2-2c(h+d)x+c(h-d)(h+3d).\] Por lo tanto, identificando coeficientes, obtenemos las ecuaciones \[a(h-d)=c(h+d),\qquad a(h+d)(h-3d)=c,\qquad c(h-d)(h+3d)=a.\] Como $a$ y $c$ no son cero (para que los polinomios tengan dos raíces), tenemos que ninguno de los factores anteriores es cero y podemos despejar \[\frac{a}{c}=\frac{h-d}{h+d}=\frac{1}{(h+d)(h-3d)}=(h-d)(h+3d).\qquad (\star)\] De la igualdad entre el segundo y el tercer miembro en $(\star)$, deducimos que $(h-d)(h-3d)=1$ y de la igualdad entre el segundo y el cuarto término tenemos que $(h+d)(h+3d)=1$. Restando estas dos igualdades obtenemos que $hd=0$. No puede ser $d=0$ ya que el enunciado nos requiere que las raíces de los polinomios sean distintas, luego tenemos que $h=0$. La primera igualdad en $(\star)$ nos dice entonces que $\frac{a}{c}=-1$, es decir, $a+c=0$ como queríamos probar.